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【QB-007】JUN女王様 BESTコレクション 一个深刻问题：何为颠倒？

发布日期：2024-08-23 21:27    点击次数：75

【QB-007】JUN女王様 BESTコレクション 一个深刻问题：何为颠倒？

加星标【QB-007】JUN女王様 BESTコレクション，才调可以过逐日推送！形式见文末动图

在咱们确切斗争数学之前，父母的教养和生涯警戒依然让咱们了解颠倒的想法，况兼这种默契将奉陪咱们的一世。然则，数学上的颠倒有更深刻的内涵，超过是在一些特定的问题上，数学家不再只关注数是否颠倒，而是磋商数学结构是否等价，致使还有更高阶颠倒。为了能更粗陋地研究高阶范围的等价性，数学家还冷落了新的数学。

撰文 | 叶凌远

什么时候两个数学对象是颠倒的？这个问题并莫得看起来那么庸碌。事实上，数学上简直悉数的问题王人是在究诘两个数学对象是否颠倒。这篇著作昭着并不是来经管某个履行的数常识题的，而是想跟各人探讨当代数学中“颠倒”这一想法的发展。

时辰回溯到19世纪末，形而上学家弗雷格（Gottlob Frege，1848-1925）合计，当咱们写下一个等式A=B，A和B王人是咱们所想要示意的真实数学对象的象征，而颠倒指的是这两个名字所指代的真实数学对象之间是一致的。换句话说，颠倒关系是咱们所使用的数学标记之间的一种关系，两个标记存在颠倒关系当且仅当它们指代的真实数学对象是一样的。按照这么的方式，咱们很容易默契2+3=5这么的数学酬报。

然则，跟着当代数学的发展，以这种方式默契的颠倒并不老是真实地响应数学家所关注的问题。最近十多年来，在一部分数学家和逻辑学家的引颈下，咱们有了对颠倒这一最基础想法的一次不雅念纠正。就像牛顿和爱因斯坦关于物理学中最基础的引力以实时空想法的纠正带来了全新的物理学一样，这篇著作想要谈谈对数学中颠倒这一想法的纠正，怎样能带来一种全新的数学。

范围数

图片【QB-007】JUN女王様 BESTコレクション

大要与形而上学上的探讨不同，要想获得一个对当代数学有效的颠倒想法，咱们长久应从所关注的数常识题启航，而不是事前慑服一个颠倒的不雅念，然后期待悉数的数学家在咱们轨则的这一套想法讲话下来表述TA们的想想。而这一末节想要证明的是，针对不同的数学对象，咱们所关注的颠倒问题可能是不同的。

一种对数学对象分类方式是所谓的范围数。范围数可以是从零到无限的放肆一个数字。范围数的大小并不一定代表其内数学对象结构的复杂或丰富进程，而是代表咱们对不同范围数的数学对象所关注的颠倒问题是不太一样的。鄙人述叙述中，咱们将称范围数为n的对象为一个n-结构。

范围数0

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0-结构，即范围数为0的数学对象，最为典型的例子是数，举例当然数、有理数、实数等等。关于两个数，或者说0-结构，它们之间的颠倒关系是咱们熟识的，即两个数是否一样。很多相称深刻的数学定理王人关注的是两个数是否颠倒，而这亦然咱们斗争到的数学中最为常见的颠倒想法。

范围数1

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跟着当代数学的发展，咱们不仅关注数，更关注更一般的数学结构，举例代数对象群、环、域；或是几何对象，如流形，等等。关于这类对象，数学家并不果真关注两个写下的群具体是否颠倒（一般兴趣上），而是它们之间是否存在同构。

某种兴趣上来说，最浮松1-结构便是一个围聚，它们可以看作是具有庸碌结构的数学结构。关于围聚而言，时时兴趣上东谈主们关注的是两个围聚是否同构，而并非关系两个围聚是否具有完全换取的元素。举例，当咱们说围聚之间的笛卡尔积是交换且鸠合的，并不是说A×B果真和B×A颠倒，因为字据围聚论的构造，这是两个不同的围聚。然则，它们之间是同构的。

关于大无数的数学责任者而言，大要群的例子是更为熟识的。磋商为两个元素围聚的置换群。固定一个两个元素的围聚，举例，按照界说，中的元素是到自己的双射，而群乘法是函数的复合。昭着，唯一两个元素，其中是上的恒等映射，将0和1分别映射到对方。

咱们能以完全不一样的方式构造一个新的群。比如，磋商整数上的模运算。当咱们把整数上的加法运算透澈模掉2以后，就获得了一个新的加法群，时时记作。其内也有两个元素0,1，而其上的群乘法是模2之后的加法运算。

从现存的数学基础来看，这两个群并不颠倒。依照弗雷格的界说【QB-007】JUN女王様 BESTコレクション，这一酬报是乌有的，因为组成它们的围聚不是一样的。中的元素是两个函数，而中的两个元素是两个当然数。因此这昭着是两个不同的群。

然则，咱们无谓果真阔别这两个群。尽管它们的元素不同，但从直不雅上来说这两个群内容上是一样的。从群的角度来讲，这可以默契成它们所示意的详尽的对称关系是一致的：它们王人是一个具有两个元素的群，其中一个元素为单元元，另一个元素是自己的逆。

用严格的数学讲话来讲，咱们可以写下一个与之间的群同构，即存在两个群同态，以及，使得它们互为对方的逆。换句话说，对1-结构而言，咱们最关注的数常识题并不是这两个结构是否在弗雷格的兴趣上是颠倒的，而是关注它们之间是否是同构的。

范围数 2

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大要令东谈主诧异的是，数学的寰宇并不是唯一范围数为0或1的数学对象。关于历久收受经典数学考试的东谈主，大要不太容易瞎想什么数学对象会比数学结构的范围数还要高一阶。但咱们可以通过递归的方式进行臆测。

最浮松的1-结构便是围聚，而一个围聚是由一些0-结构，即元素组成的数学对象。那么可以推理，最浮松的一类2-结构可被默契为某些1-结构组成的类，举例悉数围聚组成的类，悉数群组成的类，悉数流形组成的类，等等。这些对象时时被称作一个范围。

更严格地说，一个范围是由一类数学对象以及它们之间的映射组成的。围聚的范围中对象为围聚，围聚之间的映射为函数；群范围中对象为群，群之间的映射则是群同态。那么什么是2-结构，即范围之间的等价呢？为了标明回应这么的问题是特兴趣的，这里举一个学习线性代数的例子。

时时在大学学习线性代数时，咱们当先学习的是关联矩阵的运算。矩阵是一些具体数字组成的方阵，而矩阵的运算（加法、乘法等）有相称具体的运算法律评释。而当咱们更深入地学习线性代数时，咱们会发现线性代数可以完全由一种详尽的数学讲话示意：线性空间可以界说为其上具有某种运算的代数结构，而线性空间之间的线性映射可以界说为得志某些代数条目的函数。

初看起来，矩阵和线性空间之间并莫得超过凯旋的关系。然则，任何学过线性代数的同学或多或少王人会知谈，对（有限维）线性空间而言，磋商矩阵和磋商详尽的线性空间是等价的。但时时这一酬报并不所以严格数学定理的方式出现时课堂上。一般而言，这只是在学习这两种示意之后获得的一种印象，即任何一个关联矩阵的问题王人可以逶迤为一个关联线性空间的问题，而任何一个关联线性空间的问题也王人可以逶迤为一个矩阵的问题，且在这些互相逶迤之中，获得的谜底应该是一致的。

但是，这只是一种非严格的表述。有莫得主义用严格的数学讲话来证明这两种数学表述在某个严格兴趣上是等价的呢？防范，这种等价性直不雅上是某两个2-结构之间的等价性：咱们在断言磋商矩阵这类对象和磋商有限维线性空间这类对象是等价的。因此，在接下来的一节咱们将先容范围数为2，致使更高维范围数对象之间的等价性。

高阶范围数对象之间的等价

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由前所述，为了严格地叙述矩阵和线性空间的等价性，咱们必须把它们完毕为某两个范围，这么它们之间的等价性也会被默契为两个范围之间的等价。

为了粗陋，磋商实线性空间。咱们很容易叙述有限维实线性空间组成的范围是什么：其内的数学对象便是悉数有限维的实线性空间，而两个有限维的实线性空间之间的映射就取为线性映射。关于实矩阵而言，咱们将其组成的范围记为，其内的对象为有限维的欧式空间，而从到的一个映射咱们将其轨则为一个的实矩阵，代表着从到的一个线性映射。

昭着，，即是的一个子范围，因为有限维的欧式空间是有限维的实线性空间，且矩阵所轨则的映射亦然线性映射。然则，若是咱们按照默契1-结构之间颠倒的方式来看待这两个范围，它们相称显然不是同构的。事实上，这个范围中对象的个数是可数的，因为悉数对象王人是某个有限维的欧式空间。然则，中昭着包含了不可数多个对象；事实上，中的对象王人不组成一个围聚，而是组成一个真类。因此，这两个范围昭着不可能是同构的。这标明2-结构之间的等价性并不可浮松地默契为1-结构之间的等价性，正如1-结构之间的等价性并不可浮松地默契为0-结构之间的等价性。

为了叙述什么是2-结构之间的等价性，咱们再行来清爽一下1-结构之间的等价性。最热切的不雅察是，1-结构的等价性某种兴趣上可以约化为0-结构之间的等价性。具体来说，磋商两个典型的1-结构，令为两个群。按照界说，两个群是同构确当且仅当存在群同态以及，使得关于放肆中的元素，和a颠倒，且关于放肆中的元素，（）和颠倒；换言之，互为对方的逆。防范，按照咱们之前的默契，为两个1-结构，因此它们的元素均为0-结构，因此上头的界说事实上是把1-结构之间的颠倒逶迤为了0-结构之间的颠倒。

完全雷同地，咱们可以臆测什么是两个2-结构，即范围之间的等价。如有两个范围，它们之间是等价确当且仅当存在，以及，使得它们互为对方的逆。但此时，由于为两个2-结构，它们的元素是1-结构，字据1-结构之间的等价想法，这里的逆并不是说对放肆，等于，而是说和是同构的。关于另外一边亦然如斯。

若将这一等价想法哄骗到线性代数的例子上，关于一边，咱们昭着依然有了，行将欧式空间以及它们之间的矩阵默契为实线性空间和它们之间的线性映射。咱们雷同也可以构造一个反过来的映射：关于每一个有限维的实线性空间，考中一组基，这么的一个聘请给咱们了一个从到的同构，其中是的维数；雷同地，若关于咱们王人考中一组基，它们之间的一个线性映射则可以具体地用一个矩阵示意。换句话说，该映射G具体地刻画了咱们脑海中非严格的直观：任何一个有限维线性空间之间的线性映射，可以通过考中基的面容由一个矩阵刻画。

按照前文获得的2-结构之间的等价，咱们可以考据上述构造的的确刻画了这两个范围和之间的等价性。然则，考据这少量是昭着的。关于任何欧式空间昭着有；此时它们致使不只是是同构的，如故颠倒的，只是由于咱们把它们看作1-结构，并不关注它们当作0-结构的颠倒性。关于另一边，给定一个n-维的实线性空间V，按照界说。此时，V和并不凯旋颠倒，但它们当作两个1-结构的确是同构的。因此，的确组成了这两个2-结构之间的等价。这么，咱们就从数学上严格地刻画了矩阵示意和详尽线性空间示意之间的等价性。

更一般地来讲，两个n+1-结构之间是等价的，当且仅当存在它们之间的映射以及，使得关于每一个中的结构，和当作两个n-结构之间是等价的；关于中的n-结构也雷同。事实上，这一表述严格来说并不完全正确，但的确给咱们提供了相称好的直不雅。

新数学中的等价性

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当代数学的发展依然使得数学家们越来越清爽到高阶数学对象以及它们之间的等价性口舌常热切的数学想法，且关于默契复杂的低阶结构而言，巧合磋商高阶结构是必不可少的。碍于篇幅，这篇著作并不可对高阶结构在数学中的应用作念很全面的先容。但历程之前的讲解，咱们至少能够默契关于不同的数学对象，数学家关注的等价面容是不同的。

某种兴趣上，这关于所谓的“数学基础”冷落了新的挑战。毕竟，颠倒是一个如斯基础的数学想法，但现存基于围聚论的数学基础在处理高阶对象之间的颠倒上口舌常繁琐的。若是想相称粗陋地使用高阶数学对象应用于之后的数学磋商，昭着咱们需要有一种更凯旋地处理放肆数学对象之间颠倒的方式。最近十年，一种由同伦论启发的数学基础发展的相称赶快，被称为Univalent Foundation[1]。这一新的数学基础有很多不同的特征，在这里浮松先容一下它若哪里理数学对象之间的等价。

当先需要防范到，关于高阶的数学对象，严格来说颠倒不再是一个命题，而其自己具有某种结构。还所以 1-结构为例，咱们不仅关注两个群是否颠倒，更关注它们之间悉数群同构组成的结构；也便是说，咱们时时关注的不只单是当作两个详尽的群是否是同构的，更关注某个具体写下的群同态是否是之间的一个同构。更高阶的对象也雷同，咱们确切关注的并不是当作两个详尽的范围和之间是否是等价的，而是关注是否是一个范围之间的等价。

正因如斯，在Univalent Foundation这一新的数学基础中，若有两个数学对象，并不再是一个数学命题，而是一个新的数学对象，其自己仍具有某种结构。当作对比，在围聚论中，若咱们写下了两个围聚，则是一个数学命题，其要么为真要么为假，它不再具有别的某种数学结构了。

情趣做爱

这一新的数学基础有一条相称热切的公理，被称为univalence axiom[2]。令东谈主诧异的是，在这条公理下，所写下的颠倒结构能够自动地探伤你写下的数学对象之间正确的等价关系。比如说，你在这一新的数学基础中界说了两个群，那么这一个新的数学对象会等价于之间悉数同构组成的数学对象；若是你写下了两个范围，那么这一数学对象自动地等价于两个范围之间的等价所组成的数学结构。因此，在Univalent Foundation中，悉数n-结构之间等价的界说由一个和谐的颠倒构造所替代，这使得该数学基础有很多潜在的应用。

结语

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诚然，本文是先容性质的，一部分细节要果真面容化为严格的数学内容需要更精确地表述。但是，但愿这篇著作能让各人对数学中颠倒这一看起来相称庸碌的想法有更多地想考，毕竟笔者信赖，表面科学中确切的弘大的跨越王人是来自于不雅念的纠正。这些责任大要不是时期上最令东谈主叹服的责任，但必定是影响东谈主类想想最深切的责任。

参考文件

[1] The Univalent Foundations Program. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. http://homotopytypetheory.org/book, Institute for Advanced Study, 2013[2] 参考数学家 Vladimir Voevodsky 于2011年在普林斯顿高级磋商院上作念的酬报：https://www.math.ias.edu/~vladimir/Site3/Univalent_Foundations_files/2011_UPenn.pdf

本文受科普中国·星空筹画样式扶握

出品：中国科协科普部

监制：中国科学时期出书社有限公司、北京中科银河文化传媒有限公司

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